Una serie para ver y aprender “Universo Matemático”

Hola,

Después de una temporada de inactividad, y mientras afilo el lápiz para la siguiente entrada de otra categoría, os traigo una serie de diez capítulos que nos acerca a algunos de los más grandes matemáticos de la historia, llamada “Universo Matemático”. Agradecer a ramica0 que haya subido este material poco conocido. Espero que la disfrutéis tanto como yo.

 

Gracias por vuestro tiempo

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Google se acuerda de las mates

Hoy Google le ha dedicado un doodle a Leonhard Euler, en el aniversario de su nacimiento. Como muestra del impresionante trabajo de este espectacular matemático os dejo la conocida “identidad de Euler”, que relaciona los cinco numeros más relevantes de nuestra historia:

Gracias por vuestro tiempo.

Notas sobre conjuntos

   Este post abre una nueva sección llamada “pinceladas de álgebra”, cuyo único objetivo es desgranar algunas cuestiones de esa rama matemática. Para comenzar a construir estructuras algebraicas tenemos que partir de una base, y esa base son los conjuntos. Para otra ocasión dejaremos la visita a las diferentes axiomáticas que existen en la teoría de conjuntos. Ahora veremos las diferentes relaciones que hay entre los conjuntos y operaciones entre ellos, o sea, el “álgebra de conjuntos”.

Partamos de la base de que podemos entender como conjunto una colección de elementos. Definamos ahora los dos conjuntos más evidentes:

     U como conjunto universal, o aquel que contiene todos los elementos

Ø como conjunto vacío, o aquel que no contiene ningún elemento

 Dados estos conjuntos llegamos a las siguientes conclusiones, la primera es que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro, y que cualquier conjunto es subconjunto de U, ya que este contiene todos los elementos.

 Desde este principio definamos ahora las relaciones que hay entre los conjuntos

Pertenencia: Se dice que un elemento pertenece a un conjunto si está contenido en él. Podemos expresar esta relación de la siguiente manera:

x ∈ S

Igualdad: Dados dos conjuntos S y T, decimos que un conjunto es igual a otro si y solo si, el uno está totalmente contenido en el otro y viceversa, o sea:

S=T ↔ S⊆T y S⊇T

Inclusión: Dados dos conjuntos S y T, decimos que un conjunto está incluido en otro si y solo si, todos los elementos de S están incluidos en T, con la siguiente expresión:

S⊂T → ∀x ∈S → x∈T

 Una vez analizadas esta tres relaciones entre conjuntos, veamos las operaciones básicas que podemos realizar con ellos. Para ello nombremos los siguientes conjuntos S, T y V:

• Unión: Dados dos conjuntos S y T, definimos el conjunto unión Vcomo el conjunto cuyos elementos o están en S o están en T, cuya expresión se resume así

V= S∪T = { x \ x∈S ó x∈T }

• Intersección: Dados los conjuntos S y T, definimos el conjunto intersección V como el conjunto cuyos elementos están en S y en T, y la expresión matemática que se desprende

V= S∩T = { x \ x∈S y x∈T }

• Diferencia: Dados los conjuntos S y T, definimos el conjunto diferencia V como el conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto S y no pertenecen al conjunto T, y se expresa de la siguiente manera

V= S – T = { x \ x ∈S y x T }

• Producto Cartesiano: Tomamos dos conjuntos S y T, definimos el producto cartesiano de estos como el conjunto V de todos los pares (s,t) donde s∈S y t∈T, dando lugar a la siguiente expresión

V= SX T = { (s,t) \ s ∈S, t ∈T }

   Con el producto cartesiano termina este post sobre álgebra de conjuntos, que es la base para las futuras “pinceladas algebraicas” que vendrán. Espero que haya sido de vuestro interés.

Gracias por vuestro tiempo

Las matemáticas y el dinero (1ª parte)

Por todos es sabido que las matemáticas están permanentemente presentes en nuestras vidas. Son la herramienta para el desarrollo para casi todo lo que tienes ahora mismo a tu alrededor. Pero cuando un alumno de secundaria, más que probablemente desanimado y de letras, pregunta: “¿y de qué me van a servir a mí las matemáticas en el mundo real?”, bueno, pues la respuesta más obvia, y no tan conocida, es la siguiente, para saber donde te interesa hacer un depósito o tomar un préstamo, ya sé que estoy hoy en día puede ser hilarante, pero los que se lo llevan a Suiza también tienen que elegir banco, xD.

Para comparar capitales de una forma sencilla, basta con aplicar la “ley de capitalización simple”, que nace así:

Cualquier capital , depositado o tomado, durante un tiempo, crece en función a un tipo de interés, luego podemos llegar a la siguiente expresión matemática:

Donde I son los intereses generados por ese capital durante un único periodo “n”, expresados de la siguiente manera:

Donde “i” corresponde al tipo de interés y “t” al tiempo que vamos a dejar el depósito. Por lo sustituyendo I en la primera expresión obtenemos

o que nos lleva, aplicando la propiedad distributiva, a la siguiente y última expresión:

Esta es la expresión que nos permite comparar capitales cuando el período es único, pero… y si son varios años (o ciclos temporales)… bueno pues pasamos a la capitalización compuesta, que es aquella donde los intereses generados durante un período se acumulan al capital, con el objetivo de que aumente la rentabilidad. Partimos de la expresión anterior de capitalización simple, y vemos que pasa al ir añadiendo periodos, y partiendo en cada ocasión del capital final anterior:

Por lo que llegamos a la conclusión de que el momento “n”:

Que es la herramienta para resolver la pregunta de, ¿cuánta pasta me vas a dar por dejarte jugar con mi dinero?

Espero que el desvelar el origen de estas leyes matematico-financieras os haya resultado interesante.

No quisiera terminar esta primera entrada en Mathema, sin decir que este post no estaría aquí sin el ánimo de todos los que están a mi alrededor, pero especialmente, a quien más tesón ha puesto (sospecho que más que yo) Daniel Torregrosa o www.esepuntoazulpalido.com , gracias amigo, salud!

Gracias por vuestro tiempo.